GoBLOG

KEDUDUKAN TITIK,GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG

Titik

Suatu titik ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki ukuran (besaran), sehingga dikatakan bahwa titik tidak berdimensi. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah dan dibubuhi nama menggunakan huruf kapital .
Garis

Garis adalah himpunan titik-titik yang hanya mempunyai ukuran panjang sehingga dikatakan garis berdimensi satu .
Bidang

Bidang adalah himpunan titik-titik yang mempunyai ukuran panjang dan luas, sehingga dikatakan bidang berdimensi dua .
Aksioma tentang Garis dan BidangAksioma 1: Melalui dua titik sebarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat satu garis lurus .

Aksioma 2: Jika satu garis dan satu bidang memiliki dua titik pesekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang .Aksioma 3: Melalui tiga buah titik sembarang tidak segaris hanya dapat dibuat satu bidang.
DalilDalil 1: Suatu bidang ditentukan oleh tiga titik yang tidak segaris .

Dalil 2: Suatu bidang ditentuken oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik terletak di luar garis) .

Dalil 3: Suatu bidang ditentukan oleh dua garis berpotongan .

Dalil 4: Suatu bidang ditentukan oleh dua garis sejajar
Kedudukan titik terhadap garis
Titik terletak pada garis

Titik A dikatakan terletak pada garis A, jika titik A dapat dilalui oleh garis g .
Titik di luar garis

Titik A dikatakan berada di luar garis A, jika titik A tidak dapat dilalui oleh garis g .
Kedudukan titik terhadap bidang
Titik terletak pada bidang

Titik A dikatakan terletak pada bidang U, jika titik A dapat dilalui oleh bidang U.
Titik di luar bidang

Titik A dikatakan berada di luar bidang U, jika titik A tidak dapat dilalui oleh bidang U .
Kedudukan garis terhadap garis lainDua garis berpotongan

Dua garis g dan h dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak pada bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong .

catatan: Jika dua garis berpotongan pada lebih dari satu titik potong, maka garis itu dikatakan berimpit.Dua garis sejajar

Dua garis g dan h dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada satu bidang dan tidak memiliki titik persekutuan.
Dua garis bersilangan

Dua garis g dan h dikatakan bersilangan, jika kedua garis itu tidak terletak pada satu bidang.
Aksioma Dua Garis Sejajar
Aksioma 4: Melalui sebuah titik yang berada di luar garis tertentu hanya dapat dibuat satu garis yang sejajar dengan garis tertentu itu.
Dalil tentang Dua Garis Sejajar
Dalil 5: Jika garis k sejajar dengan garis l, dan garis l sejajar dengan garis m, maka garis k sejajar dengan garis m.

Dalil 6: Jika garis k sejajar garis h dan memotong garis g, garis l sejajar garis h dan memotong garis g, maka garis-garis k, l dan g terletak pada satu bidang.

Dalil 7: Jika garis k sejajar garis l sedangkan garis l menembus bidang U, maka garis k juga menembus bidang U .
Kedudukan Garis terhadap Bidang
Garis terletak pada bidang Garis g dikatakan terletak pada bidang U, jika garis g dan bidang U itu sekurang-kurangnya memiliki dua titik persekutuan.
Garis sejajar bidangGaris g dikatakan sejajar bidang U, jika garis g dan bidang U itu tidak memiliki titik persekutuan.
Garis memotong atau menembus bidangGaris g dikatakan memotong atau menembus bidang U, jika garis g dan bidang U hanya memiliki satu titik persekutuan. Titik persekutuan ini dinamakan titik potong atau titik tembus.
Dalil-Dalil tentang Garis Sejajar Bidang
Dalil 8: Jika garis g sejajar garis h dan garis h terletak pada bidang ß, maka garis g sejajar dengan bidang U .

Dalil 9 : Jika bidang U melalui garis g dan garis g sejajar bidang V, maka garis potong antara bidang U dan bidang V sejajar dengan garis g .

Dalil 10: Jika garis g sejajar garis h dan garis h sejajar bidang U, maka garis g ejajar bidang U . Dalil 11: Jika bidang U dan bidang V berpotongan dan masing-masing sejajar terhadap garis g, maka garis potongantara kedua bidang itu sejajar garis g .
Titik tembus antara garis dan bidang yang berpotongan

Jika suatu garis memotong bidang maka terdapat satu titik tembus. Titik tembus antara garis g dan bidangU ditentukan sebagai berikut:
1. Buat bidang V melalui garis g.
2. Tentukan garis potong bidang U dan bidang V, yaitu garis (U, V).
3. Tentukan titik potong garis g dengan garis (U, V). Titik potongnya adalah titik yang merupakan titik tembus yang diminta.
Kedudukan Bidang terhadap Bidang lain
Dua bidang berimpit

Bidang U dan bidang V dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang U juga terletak pada bidang V atau setiap titik yang terletak pada bidang V juga terletak pada bidang U.
Dua bidang sejajar

Bidang U dan bidang V dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan.
Dua bidang berpotongan

Bidang U dan V dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu memiliki tepat satu garis persekutuuan. Garis persekutuan sering dinamakan garis potong yang merupakan tempat kedudukan titik persekutuan. Garis persekutuan antara bidang U dan V dinotasikan dengan (U, V).
Tiga bidang berpotongan

Jika tiga bidang berpotongan dan memiliki tiga garis persekutuan, maka kemungkinan kedudukan dari ketiga garis persekutuan itu adalah berimpit , sejajar, atau melalui sebuah titik.
Dalil-Dalil tentang Dua Bidang Sejajar
Dalil 12: Jika garis a sejajar garisg dan garis b sejajar garis h, garis a dan b berpotongan dan terletak pada bidang U, garis g dan h berpotongan dan terletak pada bidang V, maka bidang U sejajar bidang V .

Dalil 13: Jika bidang U sejajar bidangV dan dipotong oleh bidang W, maka garis potong (U, V) sejajar garis potong (U, V).

Dalil 14: Jika garis g menembus bidang U dan bidang U sejajar bidang V, maka garis g juga menembus bidang V.

Dalil 15: Jika garis g sejajar bidang U dan bidang U sejajar bidang V, maka garis g juga sejajar bidang V.

Dalil 16: Jika garis g terletak pada bidang U dan bidang U sejajar bidang V, maka garis g sejajar bidang V.

Dalil 17: Jika bidang U sejajar bidang V dan bidang W memotng bidang U, maka bidang W juga memotong bidang V.

Dalil 18: Jika bidang U sejajar bidang V dan bidang V sejajar bidang W, maka bidang U sejajar bidang W .

Dalil 19: Jika bidangU sejajar bidang X dan bidang V sejajar bidang Y, maka garis (U, V) sejajar garis (X, Y).

THE HISTORY OF PYTHAGORAS
Pythagoras adalah seorang matematikawan yang lahir sekitar tahun 582 SM. di Pulau Samos, Yunani. Pythagoras hidup amat sederhana, keras, dan memakai waktunya mengerjakan matematika. Pythagoras yakin bahwa matematika menyimpan semua rahasia alam semesta dan dia percaya bahwa beberapa angka memiliki keajaban. Pythagoras diingat karena dalil Pythagoras, sebuah rumus sederhana dalam geometri tentang ketiga sisi dalam segitiga siku - siku. Namun, Pythagoras juga melakukan beberapa eksperimen ilmiah paling pertama melalui mendengarkan suara senar yang diregangkan dengan panjang yang berbeda dan meneliti matematika oktaf dan harmoni. Ide - ide matematika Pythagoras menjadi penting bagi filsuf Plato dan melalui pengaruh Plato para ilmuwan lain seperti Galileo, Kepler, dan Sir Issac Newton.


Pada tahun 2500 SM, orang-orang Mesir Kuno menganggap pasangan bilangan 3,4 dan 5 sebagai bilangan-bilangan yang ajaib dan menyebutnya sebagai salah satu ajaran dari Dewa Oasis. Ketika mereka membangun fondasi piramida, mereka menggunakan bilangan-bilangan tersebut sebagai acuan membangun sudut siku-siku dengan bantuan sebuah tali yang dibuat 4 simpul dengan jarak masing-masing antara simpul pertama dan kedua berjarak 3 satuan, simpul kedua dan ketiga berjarak 4 satuan dan simpul ketiga dan keempat berjarak 5 satuan. Jika tali tersebut dibuat segitiga dengan menyatukan simpul pertama dan keempat, maka didapatkan sbeuah segitiga siku-siku yaitu suatu segitiga yang salah satunya siku-siku.

DALIL PYTHAGORAS

Kita nyatakan sisi BC (sisi di depan sudut A) dengan a,sisi AC (sisi di depan sudut B) dengan b, sisi AB (sisi di depan sudut C) dengan C Berdasar dalil Pythagoras berlaku : c² = a² + b² atau AB² = BC² + AC², atau b² = c² – a² atau a² = c² – b²
Kesimpulan yang diperoleh dari dalil Pythagoras untuk sisi-sisi segitiga yaitu :
Dalam segitiga ABC siku-siku dengan sisi-sisi a, b, dan c berlaku :
1. Bila segitiga ABC siku-siku di A berlaku a² = b² + c²
2. Bila segitiga ABC siku-siku di B berlaku b² = a² + c²
3. Bila segitiga ABC siku-siku di C berlaku c²= a² + b²

Berlatih dulu yuuk …

1.Perhatikan gambar berikut :


a. Berapakah luas persegi diatas?
b. Hitung luas daerah yang diarsir !
c. Berapa luas daerah yang tidak diarsir ?
d. Kesimpulan apa yang bisa didapat ?

2. Diketahui sisi-sisi beberapa segitiga, tentukan apakah segitiga siku-siku, lancip, atau tumpul ? Kemukakan alasannya !

Segitiga ABC dengan a = 5 cm, b = 6 cm, dan c = 8 cm
Segitiga PQR dengan p = q = r =6 cm
Segitiga ABC dengan a = 9 cm dan b = c = 12 cm
Segitiga KLM dengan m = 10 cm, k = 16 cm dan l = 18 cm

3. Diketahui segitiga PQR siku-siku di Q. Panjang hipotenusa segitiga PQR adalah 8 , dan sudut P = 30⁰
Tentukan panjang PQ dan QR dan tentukan luas daerah segitiga PQR

4. Sebuah segitiga ABC siku-siku di B dan Besar sudut BAC = 300. Jika luas segitiga itu adalah 8 cm2, hitunglah panjang sisi-sisi segitiga tersebut !